Bir Garip MatematikCİ

Uzayda doğru ve düzlemin durumu Yazılı konu anlatımı 2

 Lise Geometri Analitik geometri KONU ANLATIMLARI

 

2. Uzayda Doğruların Durumları

Uzayda iki doğru için üç durum söz konusudur.

  • İki doğru uzayda paralel olabilir.
  • İki doğru uzayda kesişebilir.
  • İki doğru uzayda aykırı olabilir.
E düzlemi üzerindeki d2 doğrusu ile E düzlemini kesen d1 doğrusunun ortak noktası yoktur.

 

d1 ve d2 doğruları paralel değil ve kesişmiyorlar ise bu doğrulara aykırı doğrular denir.

Aykırı doğrular düzlem belirtmez


  • Uzayda üç doğru paralel olabilir.
  • Uzayda paralel doğrulardan birine paralel olan bir doğru diğerlerine de paraleldir.
  • Uzayda paralel üç doğru aynı düzlemin elemanı olmak zorunda değildir.

  • Uzayda paralel iki doğrudan birini kesen bir doğru diğerini kesmeyebilir.

d// d2 Þ d1 Ç d3 = {A}

d2 Ç d= Ø olur.

  • Paralel iki doğrunun ikisinide kesen bir doğru birini dik kesiyor ise diğerini de dik keser.

k// k2 Þ k^ k3 ve k^ k3 olur.

  • Uzayda üç doğru düzlemsel veya düzlemsel olmadan bir noktada kesişebilir.

  • Uzayda ikişer ikişer kesişen üç doğru bir düzlem belirtir.
  • Uzayda bir doğru kesişen iki doğrunun ikisinide kesmeyebilir.
  • Uzayda kesişen iki doğrunun kesişim kümesi bir noktadır.
  • Uzayda paralel ve aykırı doğruların kesişim kümesi boş kümedir.

3. Uzayda Düzlemlerin Durumları

  • Bir doğru paralel düzlemlerden birini keserse diğerlerini de keser.
  • Bir doğru paralel düzlemlerden birini dik keserse diğerlerini de dik keser.
  • Bir doğruya dik olan farklı düzlemler paraleldirler.
  • Paralel iki düzlemden birine paralel olan düzlem diğerine de paraleldir.
  • Bir düzleme, üzerindeki bir noktadan geçen ve bu düzleme dik olan bir tek doğru çizilebilir.
  • Bir düzleme, dışındaki bir noktadan geçen ve bu düzleme dik olan bir tek doğru çizilebilir.
  • Paralel düzlemler kendilerini kesen doğruları aynı oranda bölerler.
  • Bir düzleme, dışındaki bir noktadan sonsuz tane paralel doğru çizilir. Bu doğrular bir düzlem oluştururlar.

 paralel düzlemlerinde

  • Bir düzlem paralel düzlemlerden birini keserse, diğerini de keser.
  • Bir düzlem paralel düzlemlerden birine dik ise diğerine de diktir.
  • Paralel düzlemleri kesen düzlemlerin arakesit doğruları paraleldir.
  • Bir düzlemin, dışındaki bir noktadan geçen ve bu düzleme paralel olan bir tek düzlem vardır.

a // b Þ AB // CD

L düzlemi dışındaki M noktasından geçen ve L düzlemine paralel olan bir tek K düzlemi vardır.

 

  • Bir düzlemin üzerindeki bir noktadan geçen ve bu düzleme dik olan birden fazla düzlem olabilir.
  • Bir düzlemin dışındaki bir noktadan geçen ve bu düzleme dik olan birden fazla düzlem çizilebilir.
  • Üç düzlem bir doğru boyunca kesişebilir.

a düzlemi dışındaki P noktasından geçen ve a düzlemine dik olan b ve g düzlemleri gibi çok sayıda düzlem olabilir.

a düzlemi üzerindeki K noktasından geçen ve a düzlemine dik olan sonsuz sayıda düzlem vardır.

a, b, g düzlemleri bir doğru boyunca kesişirse

a Ç b Ç g = d olur.

  • n tane düzlem uzayı en az n + 1 bölgeye ayırır.
  • Üç düzlem uzayı en az dört, en çok sekiz bölgeye ayırır.

Düzlemlerin uzayı en az bölgeye ayırdığı durum, paralel oldukları durumdur. Üç düzlemin uzayı sekiz bölgeye ayırdığı durumu görmek için bir elmayı üç bıçak darbesi ile nasıl sekize bölebileceğimizi düşünelim.

  • UZAYDA DOĞRU VE DÜZLEM TEOREMLERİ

1. Temel Diklik Teoremi

Bir düzlemin kesişen iki doğrusuna, kesişme noktasında dik olan bir doğru, bu düzleme diktir.

d1 Î a , d2 Î a , l Ç d1 Ç d2 Ç a = {A} veriliyor.

l ^ d1 ve l ^ d2 ise l ^ a olur.

2. Üç Dikme Teoremi

Bir düzlemin dışında bulunan bir noktadan, bu düzleme ve düzlem içindeki bir doğruya birer dikme çizilirse, iki dikme ayağını birleştiren doğru düzlem içindeki doğruya diktir.
d Î a , [AB] ^ d ve

 

[AC] ^ a ise l ^ d olur.

d doğrusuna dik [AB] nin dik izdüşümünün üzerinde olduğu l doğrusu d doğrusuna diktir.

3. Dik kesişen Düzlemler

Dik kesişen iki düzlemin biri üzerinde bulunan ve kesişim doğrusuna dik olan her doğru diğer düzlemin üzerindeki doğrulara dik durumlu olur.
a ^ b, a Ç b = d

 

d1, d2, d3Î a ve l Î b veriliyor.

l ^ d ise l doğrusu

d1, d2 ve d3 doğrularına da dik durumlu olur.

l ile d1 , l ile d2 , l ile d3 … dik durumludur.

4. Geometrik Yer

Düzlemde iki noktaya eşit uzaklıktaki noktaların kümesi, orta dikme doğrusunu oluşturur.

 

Uzayda ise iki noktaya eşit uzaklıktaki noktaların kümesi orta dikme düzlemini oluşturur.

Her iki şekilde de, |AO| = |OB| , [AB] ^ [OK] ve |AK| = |BK| olur. K noktası birinci şekilde doğru üzerinde herhangi bir nokta, ikinci şekilde ise a düzlemi üzerinde herhangi bir noktadır.

  • DİK İZDÜŞÜM

1. Doğru Parçasının İzdüşümü

[AB] nin, a açısı yaptığı d doğrusu üzerine dik izdüşümü [A'B'] olur.

|A’B'|=|AB|.cosa

2. Düzlem Üzerindeki İzdüşüm

E düzlemi ile a açısı yapan ABCD dörtgeninin E düzlemi üzerindeki dik izdüşümü A’B'C’D’ dörtgenidir.

  • Paralel doğruların dik izdüşümleri yine paraleldir.

[AB] // [DC] Þ [A'B'] // [D'C']

[AD] // [BC] Þ [A'D'] // [B'C']

  • Eşit uzuluktaki doğruların dik izdüşümleri yine eşit uzunluktadir.

|AB| = |DC| Þ |A’B'| = |D’C'|

|AD| = |BC| Þ |A’D'| = |B’C'|

Bir düzlemle arasındaki açı a olan bir dörtgenin dik izdüşümünün alanı,

A(A’B'C’D')=A(ABCD). cos a

Bu durum bütün yüzey şekilleri için geçerlidir.

şeklin alanı S, izdüşüm alanı S’ dersek

S’=S.cos a

 

lise 1,2,3,4 geometri, analitik geometri, konusu, yazılı konu anlatımı, nasıl olur nasıl bulunur, yardım,
ödev,açıklama, hakkında ile ilgili bilgi yardım nedir, ne, neden, nasıl,