Bir Garip MatematikCİ

9.sınıf bağıntı ve kartezyen çarpımı yazılı Konu anlatımı

BAĞINTI-KARTEZYEN ÇARPIM

Sıralı İkili

Herhangi iki x ve y elemanını (x,y) biçiminde yazmaya sıralı ikili yada ikili denir.a’ya sıralı ikilinin birinci bileşeni, b’ye sıralı ikilinin ikinci bileşeni denir.

(a,b) ≠ (b,a)   Yer değiştiğinde eşit olmaz.

(a,b)=(c,d)   Burada a=c ve b=d olur.

Örnek: (2x-1,3+y)=(5+x,-7-y) ise x+y=?

2x-1=5+x   buradan x=6 olur.

3+y=-7-y buradan 2y=-10 yani y= -5 olur.

Kartezyen Çarpım

A ve B kümeleri için, birinci bileşen A’dan, ikinci bileşen B’den alınarak oluşturulacak tüm sıralı ikililerin kümesine A ve B kümelerinin kartezyen çarpımı yani kartezyen çarpım denir.AxB ile gösterilir.

AxB={(x,y)│xϵA ˄ yϵB}

Örnek: A={1,2,3}   B={a,b}

AxB={(1,a),(1,b),(2,a),(2,b),(3,a),(3,b)}

Kartezyen Çarpımın Eleman Sayısı

s(AxB)= s(BxA)= s(A). s(B)

s(AxA)= s(A). s(A)

Örnek: A={1,2}   B={a,b}

AxB={(1,a),(1,b),(2,a),(2,b)}

s(AxB)=s(A). s(B)=2.2=4

Örnek: A={1,2,3}  

AxB={(1,1),(1,2),(1,3), (2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)}

s(AxA)= s(A). s(A)=3.3=9 

Kartezyen Çarpımın Özellikleri

1)AxB≠BxA değişme özelliği yok.

2) (AxB)xC=Ax(BxC)= AxBxC birleşme özelliği var.

3) Ax(BUC)= (AxB)U(AxC) U işlemi üzerine dağılma özelliği var.

4) Ax(B∩C)= (AxB)∩(AxC) ∩ işlemi üzerine dağılma özelliği var.

Bağıntı

A ve B herhangi iki küme olsun.AxB nin her β alt kümesine A’dan B’ye bağıntı denir. A’dan B’ye bağıntı sayısı, AxB nin alt küme sayısına eşittir.

s(A)=n s(B)=m ise s(AxB)= n.m

O zaman A’dan B’ye yazılabilecek tüm bağıntıların sayısı 2n.m dir.

Örnek: A={1,2}   B={a,b}

AxB={(1,a),(1,b),(2,a),(2,b)}

s(AxB)=s(A). s(B)=2.2=4

Kartezyen çarpımın her alt kümesi A’dan B’ye bir bağıntıdır. Bu bağıntılardan bazıları şöyledir.

β1={(1,a),(2,a)}

β2={(1,a),(2,a),(1,b)}

β3={(2,b)}

Bu şekilde AxB’nin 24=16 tane alt kümesi vardır.Bunlardan herbiri,

A’dan B’ye bir bağıntıdır.Yani 16 tane bağıntı yazılır.

Bağıntının Tersi

β bağıntısındaki elamanların bileşenlerinin yerleri değiştirilerek elde edilen bağıntıya β bağıntısının tersi denir. β-1 ile

gösterilir. β bağıntısı A’dan B’ye tanımlanan bağıntı iken, β-1

bağıntısı B’den A’ya tanımlanan bağıntıdır.

Örnek: A={3,5,7,8} kümesinde

β={(3,5),(7,8),(5,5)} bağıntısın tersi

β-1={(5,3),(8,7),(5,5)}

Yansıma Özelliği

β bağıntısı A kümesinde tanımlı bir bağıntı olsun.

Her xϵA için (x,x)ϵ β ise β bağıntısı yansıyandır.β bağıntısının yansıma özelliği vardır yada yansıyan bağıntıdır denir.

Örnek: A={a,b,c} kümesi için

β1={(a,a),(a,b),(b,b),(b,c),(c,c)} yansıma özelliği vardır.

β2={(a,a),(a,c),(c,a),(c,c)} yansıma özelliği yoktur.

Simetri Özelliği

β bağıntısı A kümesinde tanımlı bir bağıntı olsun.

Her (x,y)ϵ β iken (y,x)ϵ β oluyorsa β bağıntısı simetriktir.β bağıntısının simetri özelliği vardır yada simetrik bağıntıdır denir.

Örnek: A={a,b,c,d} kümesi için

β1={(a,a),(a,c),(c,a)} simetriktir.

β2={(a,d),(b,c),(c,b)} simetrik değildir.

β simetrik bağıntı ise β= β-1

β bağıntısının grafiği ile β-1 bağıntısının grafiği y=x doğrusuna

göre simetriktir. 

Ters Simetri Özelliği

β bağıntısı A kümesinde tanımlı bir bağıntı olsun.

x≠y için her (x,y)ϵ β iken (y,x) eleman değil β oluyorsa β bağıntısı ters simetriktir.β bağıntısının ters simetri özelliği vardır yada ters simetrik bağıntıdır denir.Bağıntıda (x,x) gibi aynı bileşenleri olan ikililer varsa bunlar ters simetri özelliğini bozmaz.

Örnek: A={a,b,c,d} kümesi için

β1={(a,c),(b,b),(c,d)} ters simetriktir.

β2={(b,c),(a,a),(c,b),(a,d)} ters simetrik değildir.

Geçişme Özelliği

β bağıntısı A kümesinde tanımlı bir bağıntı olsun.

Her (x,y)ϵ β ve (y,z)ϵ β iken (x,z)ϵ β oluyorsa β bağıntısı geçişkendir.β bağıntısının geçişme özelliği vardır yada geçişken bağıntıdır denir.

Bir tek ikiliden oluşan bağıntı daima geçişkendir.

Örnek: A={a,b,c,d} kümesi için

β1={(a,b),(b,c),(a,c)(c,a)} geçişken değildir.

β2={(a,d),(d,a),(a,a)} geçişkendir.

Örnek: A={1,2,3} kümesi üzerinde tanımlı bazı bağıntılar verilmiştir.

Bağıntılar

Yansıma

Simetri

Ters Simetri

Geçişme

β1={(1,1),(2,2),(3,3)}

var

var

var

var

β2={(2,2),(1,1),(1,3),(3,1)}

yok

var

yok

var

β3={(1,1),(2,2),(3,3),(1,2)}

var

yok

var

var

β4={(1,1),(2,2),(3,2),(1,3)}

yok

yok

var

yok

β5={(1,1),(2,1),(1,2),(3,1)}

yok

yok

yok

yok

β6={(2,1),(1,2),(1,1),(2,2)}

yok

var

yok

yok

β7={(1,1)}

yok

var

var

var

β8={(2,3)}

yok

yok

var

var

 


9.sınıf, 9sınıf , 9 sınıf, bağıntı,kartezyen çarpımı, karteziyen,birebir, denklik, yansıma , geçişme, ters simetri , bağıntılar, simetrisi,  yazılı Konu, anlatımı, hakkında ,bilgi, açıklama, örnek, nedir, nasıl, niçin, ne, ne zaman, yapılır, bilinir, bil, öğren,